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实对称矩阵的定义需要满足两个条件：对称矩阵容易判断，即转置后的矩阵等于原矩阵。因此，不难看出，必要条件之一就是矩阵必须是n阶方阵。真正的矩阵也很容易判断。矩阵的共轭矩阵就是它本身。结合上述条件，我们还可以得到这样一个等价条件：实对称矩阵⇔共轭转置矩阵（也称为Hermitian共轭转置矩阵）本身。
这个一维对称矩阵的特征值是-1。
是n次多项式，必须有n个解，因此必须有n个特征值。
这是一个标量。它是用表示的共轭，向量的长度用表示。
（1）
来自（1）和（2）
所以，它是一个实数。因为它是任意的特征值，所以对称矩阵的特征值都是实数。
设a为n阶对称矩阵，若任意n维向量x0＞0（≥0），则称为正定（半正定）矩阵；否则，设a为n阶对称矩阵，若任意n维向量x≠0＜0（≤0），然后称之为负定（半负定）矩阵
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