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F（x，y）*H（x，y）F（U，V）H（U，V）F（x，y）H（x，y）[F（U，V）*H（U，V）]/2π（a*B表示对a和B进行卷积）两个二维连续函数在空间域中的卷积可以通过求解其对应的两个傅里叶变换乘积的逆变换得到。相反，频域卷积可以通过空间域乘积的傅里叶变换得到。这一原理同样适用于傅里叶变换的各种变体，如拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、z变换、梅林变换和哈特利变换。在调和分析中，它也可以推广到定义在局部紧阿贝尔群上的傅里叶变换。卷积定理可以简化卷积的计算。对于长度为N的序列，根据卷积的定义，需要进行2n-1组位乘法，其计算复杂度为O（N*N）；但用傅里叶变换将序列变换到频域后，只需要一组位乘法，采用傅立叶变换的快速算法后，总的计算复杂度为O（n*n）。这个结果可用于快速乘法。
Z变换（Z变换）是一种数学工具，通过将离散系统的时域数学模型差分方程转化为更简单的频域数学模型代数方程，简化求解过程。Z是一个复变量，它有实部和虚部。通常用极坐标表示，即z=rejΩ，其中R为振幅，Ω为相角。以Z的实部为横坐标，虚部为纵坐标的平面称为Z平面，是离散系统的复域平面。离散信号系统的系统函数（或传递函数）一般用系统对单位采样信号响应的z变换来表示。可以看出，Z变换在离散系统中的作用类似于连续系统中的Laplace变换。Z变换具有许多重要性质，如线性、时移、可微性、序列的卷积性、复卷积定理等。这些性质在解决信号处理问题中起着重要的作用。最典型的是卷积。由于信号处理的任务是在某一（或一系列）系统对输入信号序列进行处理后输出所需的信号序列，因此第一个问题是如何从输入信号中获得输出信号以及所用系统的特性。通过理论分析可以看出，如果直接在时域求解，由于输出信号序列等于所用系统的输入信号序列和单位采样响应序列的卷积和，因此必须进行卷积和计算才能得到输出信号。Z变换的卷积特性可以大大简化这一过程。只要分别对系统的输入信号序列和单位采样响应序列进行z变换，再对其乘积进行逆变换，就可以得到输出信号序列。这里的逆变换就是Z逆变换，就是从信号序列的Z变换中寻找原始信号序列的变换方法。目前，已有一种类似于拉普拉斯变换表的现成Z表。对于一般信号序列，其z变换可直接从表中找到。当然，相应地，也可以通过信号序列的Z变换找到原始信号序列，从而容易地获得信号序列的Z变换。
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