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在Mathematica中，我们可以使用PoissonDistribution[参数]来表示泊松分布。通过PDF函数可以求得其概率函数，即泊松分布的定义式；而CDF函数则可用于计算泊松分布的累积分布。DiscretePlot函数可以绘制泊松分布的离散函数图像。举例来说，我们可以分别绘制泊松分布参数为3、8、15、30时的图线形状。观察这些图形可以发现，随着参数的增大，泊松分布的均值逐渐增大且变得对称。
泊松分布的平均值和方差计算
通过Mean函数可以直接求得泊松分布的平均值μ，而方差则正好也等于μ。为了推导这两个结论，我们可以在Mathematica中观察公式，并逐步化简。利用FullSimplify函数可以随时验证化简的正确性，最终得到平均值μ的计算结果。对于方差的推导稍显复杂，需要将方差的表达式展开成三个部分，然后分别化简每一部分。其中，第一个部分可以展开成两个可以求和的项，整个过程需要仔细推导。
方差的进一步计算与验证
在推导泊松分布的方差时，我们可以通过无穷求和的方法来验证各项计算的准确性。分别验证a、b、c三个部分，然后与自行化简并取极限的结果进行比较。最终得到的结果为a-b*c，即为泊松分布的方差计算结果。通过这样的验证过程，可以确保方差的计算是准确无误的。
生成符合泊松分布的伪随机数
在Mathematica中，我们可以利用RandomVariate函数来生成符合泊松分布的伪随机数。通过设定泊松分布作为参数，我们可以生成符合该分布的随机数序列。使用Histogram函数可以绘制这些生成的随机数的直方图，从而更直观地观察其分布情况。通过这些操作，我们可以更加深入地了解泊松分布在随机数生成中的应用和特点。
这篇文章详细介绍了在Mathematica中计算和绘制泊松分布的方法，以及如何推导其平均值和方差。同时，通过生成符合泊松分布的伪随机数，我们可以更好地理解泊松分布在实际应用中的意义和作用。
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