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证明：设v是R中非零元素的集合。我们知道v中至少有一个元素。对于任何a，B属于v。因为R中的乘法形成一个半群，a*B属于R。因为R是一个没有零因子的环，a和B不等于0，a*B属于v，也就是说，v接近乘法。显然，V中的任何一对元素都满足结合律，因此V构成一个半群。因为R是一个没有零因子的环，乘法满足消去律，所以V中的乘法也满足消去律。因此，任何满足消去律的有限半群都构成一个群。那么R中的所有非零元素组成一个群，所以R是一个除环。
不可能；首先，什么是零因子？左零因子是将左非零元素相乘得到零的元素，它可以将左非零元素转换为零。右零因子的定义是相似的。每个环都有一个元素0，它必须是零因子，而在非零环中，0是不可逆的。如果非零元素a是左零因子，则满足a≠0，B≠0，ab=0。如果a是可逆的，那么B=0是通过将方程两边a的逆元素相乘得到的。非零元素a是左零因子。总而言之，零因素是不可逆转的
我记得这个问题在网上引起了热烈的讨论，但没有最终的权威标准答案。
在我看来，这两个答案都是正确的。但是，我们必须把它们全部列出，以免一边倒。原因如下：
在这个问题中，被乘数“1”和乘数“0”都是自然数。而且因为没有其他的话题限制，二者的逻辑地位应该是平等的。因此，应该分别从被乘数1和乘数0的角度来研究。
1. 从被乘数1的角度看：在自然数中，1乘以任意数，数不变。因此，可以认为1x0=0是由于被乘数1的性质，它保持乘数0不变；
2。从乘数0的角度来看：在自然数中，0乘以任何数，结果就是0。因此，可以说1x0=0是由于乘数0的性质，它保持自然数0不变。
整数不是数字字段。场的所有非零元素都必须具有乘法和加法逆。
场的定义：设f是单位为1（≠0）的交换环。如果F中的每个非零元素都是可逆的，则称F为场。例如有理数域、剩余类域、典型域、有理函数域、半纯函数域等。
整数满足乘法的可交换率，但除1外没有任何逆元素。例如，2在整数集合中，而0.5不是。
所以整数只是一个环，而不是一个字段。
多项式也是如此。大多数多项式没有乘法逆。例如，X-1没有。
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