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正交投影又称垂直投影，属于正交投影。设I和Z分别为n维和m维二阶矩随机向量。如果存在一个与I维数相同的随机向量，则满足以下三个条件：（1）线性表示，Î=ABZ（2）无偏，e（Î）=e（I）（3）I-Î和Z如果e[（I-Î）ZT]=0，Î是I在Z上的正交投影。注：ZT是Z的转置。
如果我们知道中的一个向量组是线性独立的，那么我们可以使用gram-Schmidt正交化来找到一组等价的正交向量组，这些向量组以矩阵的形式表示。这是简化的QR分解。当然，我们可以把它变成一个正交矩阵，然后我们就可以得到完整的QR分解。我们如何生成这个？根据正交投影的性质，只要：取全部，就可以得到
正交矩阵
1的性质。逆也是正交矩阵
对于正交矩阵，其逆也是正交矩阵。
2. 如果两个矩阵是正交的，那么它们的乘积也是正交的。
3. 行列式的值为正1或负1
任意正交矩阵的行列式为1或−1。对于置换矩阵，行列式是1还是−1与置换是奇偶匹配，行列式是行的交替函数。
4. 正交矩阵总是可以在复数上对角化来表示特征值的完整集合，这比行列式更具限制性。它们都必须有（复数）绝对值1。
5. 正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的乘积是正交的。事实上，所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。它是一个n（n−1）/2维紧李群，称为正交群，表示为O（n）。
请参阅。
投影矩阵P:满足P^2=P
正交投影矩阵P:P“=P=P^2
超定线性方程组AX=B通常转化为解Pax=Pb，其中P是从整个空间到a的范围im（a）的投影，a“AX=a”B]可以通过等价变换得到。在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间到自身的线性变换，是日常生活中“平行投影”概念的形式化和推广。就像太阳光在现实中把物体投射到地面一样，投影变换将整个向量空间映射到它的一个子空间，在这个子空间中，它是一个恒等变换。
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